kalkulus 1

HIMPUNAN

1. Definisi Himpunan :

Himpunan adalah kumpulan atau kelompok elemen-elemen yang memiliki sifat atau karakteristik tertentu dan memenuhi syarat keanggotaan, elemen-elemen tersebut disebut anggota dari himpunan

2. Notasi-notasi yang berhubungan dengan suatu himpunan:

  {     }   Þ    untuk menyatakan sebuah himpunan

     Π     Þ    untuk menyatakan anggota himpunan 

a  Π S   Þ    a  anggota dari himpunan S

p  Ï  S   Þ    p  bukan anggota himpunan S

a, b, c    Þ    anggota himpunan S jika  S = {a, b, c} atau S = {b, a, c} atau S = {b, a, c}, dalam hal ini, urutan dari elemen-elemen himpunan tidak diperhatikan.

Himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang memenuhi sifat  p ditulis dengan notasi {x ç x memenuhi sifat  p }  misalnya A adalah himpunan bilangan riil lebih besar dari 2 dapat ditulis A = { x êx riil,  x > 2  }

3. Macam-macam Himpunan :

1. Himpunan berhingga ( finite set ) yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga. Contoh :

A = { x ê x  adalah 4 bilangan genap pertama } = { 2, 4, 6, 8 }

B = { x ê 2 < x < 10 ,  x = bilangan ganjil } =  { 3, 7, 9 }   

2. Himpunan tak berhingga ( infinite set ), yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga. Contoh :

C = { x ç x  adalah bilangan ganjil >  1 } = { 3, 7, 9, 11 ……… }   

D = { x ç x  adalah bilangan riil >  6 } = { 7, 8, 9 ……..…… }   

3. Himpunan kosong ( void set ), yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen. Contoh :

E = { x ê x² = 9 , x  adalah genap } = {     }   atau   f

4. Himpunan sama, yaitu himpunan yang memiliki elemen-elemen yang sama, walaupun urutannya berbeda. Contoh :

Jika F = { 6, 7, 8, 9  } dan G = { 9, 7, 6, 8} maka  F = G

5. Himpunan Ekivalen ( kesamaan 2 himpunan ), yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama. Contoh :

Jika H  =  { 2, 3, 4, 5 } dan I = { h, I, j, k } maka  H ~ I karena n(H) = n(I) = 4

     6.    Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain. Contoh :

Jika J  =  { 2, 4, 6, 8 } dan K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } maka  J Ì K  ( J subset dari K ), sedangkan  K É J  ( K superset dari J ) karena K mengandung semua elemen dari J.

7. Himpunan saling lepas / asing / disjoint, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda. Contoh :

Jika L  = { 1, 2, 3, 4, 5  } dan M = { 15, 16, 17, 18, 19 } maka  L  | |  M

8. Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan. Contoh :

Jika N  =  { a, b, c, d  } , O = { e, f, g, h } dan P = { i, j, k, l } maka himpunan semestanya S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l }

9. Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.

Contoh : Jika S = { bilangan bulat positif }, Q  =  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } dan

R = {1, 3, 5, 7,...} maka himpunan komplemen dari R adalah R^c = {2, 4, 6, 8, ...} dan himpunan komplemen dari Q adalah Q^c =  { 8, 9, 10, … }

10. Himpunan Keluarga / Set of  Set, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan. Contoh :

     T  =  {{2,3}, {1,0}, {0,4,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

     U  =  {{2,3},  5, 7 , {0,4,7}} ……..  Û Bukan Himpunan Keluarga

11. Himpunan Power Set / Kuasa, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

     Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2ⁿ maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2ⁿ. Contoh :

     W =  { 2, 5 } maka himpunan bagiannya ada 2² = 4, yaitu :

{ 2  }  Ì  {2,5}, { 5  }  Ì  {2,5}, {2,5}  Ì  {2,5}, {     }  Ì  {2,5} maka himpunan kuasa W = {2,5}  adalah {{2},{5},{2,5},{  }}

DIAGRAM VENN

1. Definisi Diagram Venn :

            Alat untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan

            Himpunan yang dimaksud digambarkan dengan lingkaran sedangkan himpunan Semesta digambarkan dengan 4 persegi panjang

2. Operasi antar Himpunan :

1.      Gabungan ( Union ) ® symbol  È

Contoh : S = { a, b, c, d } ;  T = { a, d, e, f }, maka :

               S È T = { a, b, c, d, e, f  }

               S È T = { x | x Î S  atau  x Î T }

2.      Irisan ( intersection ) ® symbol  Ç

Contoh : P = { a, b, c, d } ; R = { a, d, e, f } ;  Q = { h, i, j, k  }, maka :

               P Ç R = { a, d }

               P Ç R = { x | x Î P dan x Î R }     

               P Ç Q =  f …… saling asing/disjoint/kosong

               R Ç Q =  f …… saling asing/disjoint/kosong

3.      Komplemen dari S ® symbol S^c

Contoh : S  = { 1, 2, 3 }, maka :

               S^c = {4, 5, 6……}

               S^c = { 0,-1,-2…..}

4.      Selisih ® X – Y

Contoh :  X = { 10, 20, 30, 40, 50 } ; Y = {10, 30, 60 }, maka :

                X – Y = { 20, 40, 50 }

5.      Selisih Simetri ® symbol Ñ

Contoh : A = { 2, 3, 4, 6 } ; B = { 1, 3, 4, 5, 6 }, maka :

               A Ñ B = ( A È B ) – ( A Ç B )

                          = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } – { 3, 4, 6 }

                          =    { 1, 2, 5 }

Atau        A Ñ B = ( A – B ) È ( B – A )

                          = { 2 } È { 1, 5 }

                          =  { 1, 2, 5 }

6.      Hasil kali cartesius dari 2 himpunan A dan B ® symbol  x

A x B = { ( x,y ) | x Î A,  y Î B  } ® x dan y pasangan berurut

Contoh : A = { a, b, c }

               B = { 1, 2 }

               A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) }

               B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) }

               A x B ¹ B x A

F U N G S I

1. Definisi Fungsi :

Fungsi dalam bahasa matematika dinyatakan sebagai pemetaan, di mana fungsi merupakan kejadian khusus dari suatu relasi. Misalkan himpunan A dan B dengan relasi R yang menghubungkan elemen A dengan elemen B. Suatu fungsi f dari A ke B didefinisikan sebagai suatu relasi antara A dan B dengan sifat : f menghubungkan setiap

elemen A dengan satu dan hanya satu elemen B. Ditulis f : AŠB

Contoh : Misalkan A = {a,b,c,d} dan B = {1,2,3} maka :

1. Grafik Fungsi, Sistem Koordinat

Suatu fungsi riil dapat digambarkan grafiknya dengan menggambarkan pasangan-pasangan terurut dari fungsi tersebut pada sebuah system koordinat Cartesius yang terdiri dari 2 sumbu yang saling tegak lurus. Sumbu mendatar (sumbu X) menyatakan sumbu dari prapeta (sumbu variable bebas) dan sumbu tegak (sumbu Y) menyatakan sumbu peta (sumbu variable bergantung)

Untuk contoh relasi fungsi di atas, grafiknya adalah :

2. Daerah Definisi dan Daerah Nilai (Domain dan Range)

Jika fungsi f memetakan setiap elemen pada himpunan A ke elemen pada himpunan B, atau f : AŠB, maka yang dimaksud Daerah Definisi (Domain) dari f adalah himpunan A, ditulis A = D_f (harus habis, artinya setiap elemen pada himpunan A harus mempunyai pasangan pada himpunan B). Sedangkan himpunan B disebut Codomain dari f (tidak harus habis, artinya ada kemungkinan elemen pada himpunan B tidak mempunyai pada himpunan A). Himpunan bagian dari B merupakan himpunan semua peta (bayangan) dari f, disebut Daerah Nilai (Range), ditulis R_f ={y|y=f(x), xÎA}

Contoh :

1. Dari fungsi f : AŠB pada gambar 1 di atas maka D_f = A = {a,b,c,d} dan R_f = {1,2,3}

2. Jika f : R^# Š R^# di mana x Š x² maka D_f = R^# , sedangkan R_f = {y|y≥0} = himpunan bilangan nonnegatif

3. Jika f(x) = y =  maka D_f = {x|1-x² ≥ 0}= {x|-1 £ x £ 1} dan R_f = {y|0 £ y £ 1}

4.  Jenis-jenis fungsi riil (R^#) :

1. Fungsi Polinom/suku banyak, f(x) = a₀.xⁿ + a₁.x^n-1 + …… + a^n-1x + a_n ….

2. Fungsi Aljabar, y = f(x) = P₀(x)yⁿ + P₁(x)y^n-1 + ….. + P^n-1(x)y + P_n(x)

3. Fungsi Transenden/bukan fungsi aljabar, antara lain :

a. fungsi Eksponensial : f(x) = a^x , a ¹ 0,1

            b. fungsi Logaritma : f(x) = ^alogx , a ¹ 0,1

4. Fungsi Trigonometri :

               

5. Fungsi Siklometri (Fungsi Invers Trigonometri)

              

6. Hiperbolik

              

 Fungsi Khusus

1. Jenis-jenis Fungsi Khusus :

a.  Fungsi Konstanta, f(x) = k, dengan x variabel riil dan k suatu bilangan riil tertentu. Grafik fungsi konstanta berbentuk garis lurus sejajar sumbu X. Contoh : f(x) = 2, f(x) = -5, dsb.

2. Fungsi Identitas, f(x) = x, untuk x variabel riil. Notasi f = I.
3. Fungsi Satu-satu, jika untuk nilai variabel x₁¹x₂ mengakibatkan f(x₁)¹f(x₂). Artinya : Untuk setiap elemen pada domain tepat memiliki satu dan hanya satu pasangan pada codomain (tidak ada prapeta yang mempunyai peta yang sama). Contoh : f(x) = 4x, f(x) = 5x-10, dsb. Apakah f(x) = x² satu-satu? Kenapa?
4. Fungsi Pada (onto), jika daerah nilai fungsi (range) R_f sama dengan codomainnya. Contoh : f : R^#ŠR^# dengan f(x) = -5x adalah fungsi pada. Apakah f(x) = x² merupakan fungsi pada? Kenapa?
5. Fungsi Komposisi (Tersusun), jika f : AŠR_f dan g : R_f ŠC maka gof : AŠC disebut fungsi komposisi dari f dan g. Contoh : f : xŠx+3 dan g : xŠx²-1. Maka fungsi komposisi gof : xx+3 (x+3)²-1 atau gof(x)=g(f(x))=(x+3)²-1
6. Fungsi Invers, jika f : AŠB fungsi yang satu-satu pada, maka fungsi g : BŠA disebut fungsi invers dari f apabila komposisi gof = I (fungsi identitas). Notasi : g = f^-1. Sebaliknya juga berlaku, f disebut fungsi invers dari g jika fog = I. Jadi : gof = fog = I. Contoh : y = f(x)=2x-4 suatu fungsi riil. Invers dari fungsi f dapat dicari dengan cara : y = 2x-4Š2x = y+4Šx = (1/2)y+2 atau f^-1(y)=(1/2)y+2 atau simbol y diganti dengan x menjadi f^-1(x)=(1/2)x+2
7. Fungsi Eksplisit, jika rumus fungsi y dinyatakan secara langsung oleh variabel bebas x, yaitu y = f(x), di mana variabel y dan x ditulis terpisah pada ruas kiri dan kanan, maka fungsi tersebut merupakan fungsi Eksplisit. Dalam hal lain, maka fungsinya disebut fungsi Implisit, yaitu jika variabel bebas dan variabel bergantungnya tidak terpisah. Suatu bentuk implisit kadang-kadang sukar bahkan tidak bisa diubah ke bentuk eksplisit. Kadang-kadang bentuk implisit bukan suatu fungsi, karena mempunyai nilai lebih dari satu, untuk itu disebut fungsi berharga banyak.

Contoh : y = x²+3x-2 adalah fungsi eksplisit. Tetapi persamaan yx² + 3x = 4 merupakan fungsi implisit dan persamaan 3x-2y²+4 = 0 bukan fungsi. Kenapa?

8. Fungsi genap, jika berlaku f(-x) = f(x) untuk setiap x Î D_f. Sedangkan fungsi ganjil, jika berlaku f(-x) = - f(x) untuk setiap x Î D_f. Contoh : y = cos x adalah fungsi genap sedangkan y = sin x adalah fungsi ganjil. Kenapa? Bagaimana dengan fungsi y = e^-x ?
9. Fungsi periodik, f(x) disebut fungsi periodik dengan periode T, jika untuk setiap xÎD_f berlaku f(x+T) = f(x), T>0 merupakan konstanta terkecil yang memenuhi. Contoh : f(x) = sin x adalah fungsi periodik dengan periode 2p. Kenapa? Bagaimana dengan f(x) = tg x ?
10. Fungsi terbatas, f(x) disebut terbatas di atas pada suatu interval jika terdapat konstanta M sehingga f(x) £ M, untuk setiap x pada interval tersebut. Disebut terbatas di bawah jika terdapat konstanta m sehingga f(x) ≥ m, untuk setiap x pada interval tersebut. f(x) disebut terbatas apabila f(x) terbatas di atas dan terbatas di bawah. M disebut batas atas dan m disebut batas bawah. Contoh : f(x)= 3+x tidak terbatas pada interval -¥ < x < +¥, tetapi terbatas pada interval  -1£ x £ 1. Kenapa?
11. Fungsi monoton, f(x) disebut monoton naik pada suatu interval jika untuk setiap x₁, x₂ pada interval tersebut nilai x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) £ f(x₂). Sebaliknya, jika f(x₁) ³ f(x₂) maka fungsi disebut monoton turun. Contoh :  adalah monoton turun pada interval 0 £ x £ 9. Kenapa?

2. Fungsi Dalam Bentuk Parameter

Sebuah fungsi y = f(x) jika dinyatakan sebagai : x = f₁(t) dan y = f₂(t), maka disebut fungsi dalam parameter t. Apabila variabel t dihilangkan maka akan menghasilkan bentuk fungsi semula yaitu y = f(x). Contoh : Jika x = 2t dan y = 4t²-3t maka akan diperoleh sebuah fungsi baru, yaitu y = x²-(3/2)x. Bagaimana caranya?

3. Koordinat Polar

Selain sistem koordinat Cartesius, fungsi dapat digambarkan juga pada sistem koordinat Polar, di mana setiap titik pada bidang datar dinyatakan sebagai pasangan terurut (r,∅).  r menunjukkan panjang vektor posisi titik P (panjang OP) dan ∅ menunjukkan sudut polar, yaitu sudut antara sumbu polar dengan OP (dengan arah berlawanan jarum jam).

Hubungan antara koordinat Cartesius dan Polar :

Jika x = r cos ∅ dan y = r sin ∅  maka r² = x² + y² dan tg ∅ = y/x . Bagaimana caranya?

Contoh : Jika r = a√2 cos ¹/₂∅ diubah ke bentuk koordinat Cartesius maka menjadi :

               x⁶ + y⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ – 4a²x²y² – 2a²x⁴ – 2a²y⁴ + a⁴y² = 0. Coba buktikan!

  

LIMIT FUNGSI

1. Definisi Intuitif

Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil 

sedemikian hingga:

•         Bila x dekat a tetapi tidak sama dengan a (x¹a), f(x) dekat ke L

•         Bila x mendekati a tetapi x¹a, maka f(x) mendekati L

•         Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat a tetapi tidak sama dengan a

•         Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a adalah L,

Kontinuitas Fungsi

1. Definisi :

Fungsi f (x) di sebut kontinu di x = x₀ jika :

        i.            f ( x₀ ) terdefinisi

      ii.            ada

    iii.            = f(x₀)

Fungsi f (x) disebut kontinu di x = x₀ jika ketiga syarat di atas terpenuhi. Tetapi jika salah satu atau lebih persyaratan tidak terpenuhi maka di sebut diskontinu.

Secara grafik, fungsi f kontinu di  jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat x₀ tidak terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di x₀ maka dikatakan f diskontinu di x₀. Pada Gambar, f kontinu di x₁ dan di setiap titik di dalam  kecuali di titik-titik x₂, x₃, dan x₄. Fungsi f diskontinu di x₂ karena  tidak ada, diskontinu di x₃ karena nilai tidak sama dengan nilai fungsi di x₃ (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x₄ karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

                                                                                                      

                                                                                        

°

                                                                                                       

°

°

                                                                                                      

·

                                                                      

                                                                                   

a         x1          x2           x3         x4                         b

                                                                                                       

Gambar 3.7.1

                                                                                                       

                      

                       

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.   

Contoh :

(a). Fungsi f dengan rumus  diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh

  

               

diskontinu di x = 0  sebab   tidak ada.

(c). Fungsi g dengan definisi:

             

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab .█